假设空时场（space-time field）同时存在信号（signal）、噪声（noise）和/或干扰（interference），这些信号/干扰空时场中可能是重叠的。阵列（Array）可以利用信号的空域特征，对空时场域内的信号进行滤波，过滤的过程可以用角度或波数的函数来表示（in terms of a dependence upon angle or wavenumber）。从频域看，这种滤波通过使用复增益（complex gain）对阵列输出进行加权，可以根据信号的空域相关性对信号进行增强或抑制。对空时场进行空域滤波的目的是：使从一个或一组特定角度到来的信号通过有效的组合得到增强，抑制从其他角度到来的噪声或干扰。

  在分析之前首先需要明确采用的坐标系，如图 1-1-1 所示，直角坐标系和球坐标系的关系也在其中标明：

\[\begin{equation} \begin{aligned} x &= r \sin\theta\cos\varphi \\ y &= r \sin\theta\sin\varphi \\ z &= r \cos\theta \end{aligned} \end{equation}\]

验证是芯片设计过程中非常重要的一个环节。无缺陷的芯片不是设计出来的，而是验证出来的。验证的过程是否准确与完备，在一定程度上决定了一个芯片的命运。在芯片设计中，功能验证的方法主要有 3 种：仿真、形式验证以及硬件加速。本文重点介绍仿真的概念、仿真平台的搭建以及如何利用高效的仿真平台来验证设计等话题。

状态机是逻辑设计的重要内容，其设计水平直接反映工程师的逻辑功底，所以许多公司的硬件和逻辑工程师面试中，状态机设计几乎是必选题目。本文在引入状态机设计思想的基础上，重点讨论如何写好状态机。

1. 幅度平方响应与数字滤波器的技术指标

1.1. 幅度平方响应

  常采用滤波器的幅度平方响应 \(\left|H\left(e^{j\omega}\right)\right|^2\) 来描述滤波器的选频特性。

1.2. 数字滤波器的技术指标

1. 通带截止频率（passband edge frequency）：\(\omega_p\)。

2. 阻带截止频率（stopband edge frequency）：\(\omega_s\)。

3. 通带波动（passband ripple in dB）：\(R_p=-10\lg{\dfrac{1}{1+\varepsilon^2}}\)，其中 \(\varepsilon\) 为通带波动系数。

4. 阻带衰减（stopband attenuation in dB）：\(A_s=20\lg{\delta}\)。

1. 基本运算单元的结构图表示

基本运算单元	方框图	流图
单位延时
常数乘法器
加法器

1. 4 点 FFT

1.1. 基-2 按时间抽取 FFT（4-point radix-2 DIT-FFT）

1.1.1. 比特位反序输入、自然顺序输出

1. 直接计算 DFT 的计算量

  考察列长为 \(N\) 的序列 \(x\left(n\right)\) 的 DFT

\[\begin{align} X\left(k\right)&=\sum_{n=0}^{N-1}{x\left(n\right)W_N^{nk}}=\sum_{n=0}^{N-1}\left\{\Re{\left[x\left(n\right)\right]}+j\Im{\left[x\left(n\right)\right]}\right\}\left\{\Re{\left[W_N^{nk}\right]}+j\Im{\left[W_N^{nk}\right]}\right\} \\ &=\sum_{n=0}^{N-1}{\left\{ \Re \left[ x\left( n \right) \right] \Re \left[ W_{N}^{nk} \right] -\Im \left[ x\left( n \right) \right] \Im \left[ W_{N}^{nk} \right] \right\} +j\left\{ \Re \!\:\left[ x\left( n \right) \right] \Im \!\:\left[ W_{N}^{nk} \right] +\Im \left[ \!\:x\left( n \right) \right] \Re \!\:\left[ W_{N}^{nk} \right] \right\}} \end{align}\]

由此，直接计算 DFT 时，在不忽略 \(W_N^0=1\) 等特例时，实数乘法次数为 \(4N^2\)，实数加法次数为 \(2N\left(2N-1\right)\)，均与 \(N^2\) 成正比，计算量非常庞大。

1. 离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）的定义

  取离散傅里叶级数的主值，得离散傅里叶变换

\[\begin{equation} X\left(k\right)=\widetilde{X}\left(k\right)R_N\left(k\right)=\sum_{n=0}^{N-1}{x\left(n\right)W_N^{kn}},\ \ k=0,1,\cdots,N-1 \end{equation}\]

\[\begin{equation} x\left(n\right)=\widetilde{x}\left(n\right)R_N\left(n\right)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{X\left(k\right)W_N^{-kn}},\ \ n=0,1,\cdots,N-1 \end{equation}\]

且 \(\widetilde{X}\left(k\right)=X\left(\left(k\right)\right)_N,\widetilde{x}\left(n\right)=x\left(\left(n\right)\right)_N\)。其中 \(R_N\left(n\right)\) 表示矩形序列，表示取主值；\(\left(\left(n\right)\right)_N\) 表示 \(n\) 对 \(N\) 取余。

注：不同教材中取主值、取余的符号表述可能不同。

1. 傅里叶变换的几种形式

1.1 非周期连续时间信号的傅里叶变换

  非周期连续时间信号的傅里叶变换（连续时间傅里叶变换，Continuous-Time Fourier Transform, CTFT）的形式为：

\[\begin{equation} X_a\left(j\Omega\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{x_a\left(t\right)e^{-j\Omega t}\mathrm{d}t} \end{equation}\]

\[\begin{equation} x_a\left(t\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{X_a\left(j\Omega\right)e^{j\Omega t}\mathrm{d}\Omega} \end{equation}\]

1. 理想取样信号的频谱

  设有输入连续时间信号 \(x_a\left(t\right)\)，理想取样信号 \(\hat{x}\left(t\right)\)，单位周期冲激串 \(p_\delta\left(t\right)=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(t-nT\right)\)，则理想取样信号可表示为

\[\begin{equation} \hat{x}\left(t\right)=x_a\left(t\right)p_\delta\left(t\right)=x_a\left(t\right)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(t-nT\right) \end{equation}\]

由于 \(\delta\left(t-nT\right)\) 仅在 \(t=nT\) 时非零，因此理想取样信号可进一步表示为

\[\begin{equation} \hat{x}\left(t\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{x_a\left(nT\right)\delta\left(t-nT\right)} \end{equation}\]