$ $  本文讨论几种保持函数凸性或者凹性的运算，这样可以构造新的凸函数或者凹函数。首先从一些简单的运算开始，如求和、伸缩以及逐点上确界，之后再介绍一些更为复杂的运算（其中一些运算的特例即为简单运算）。

1. 非负加权求和

  显然，如果函数 \(f\) 是凸函数且 \(\alpha\geqslant0\)，则函数 \(\alpha f\) 也是凸函数。如果函数 \(f_1\) 和 \(f_2\) 都是凸函数，则它们的和 \(f_1+f_2\) 也是凸函数。将非负伸缩以及求和运算结合起来，可以看出，凸函数的集合本身是一个凸锥：凸函数的非负加权求和仍然是凸函数，即函数

\[ f=w_1f_1+\cdots+w_mf_m \]

是凸函数。类似地，凹函数的非负加权求和仍然是凹函数。严格凸（凹）函数的非负，非零加权求和是严格凸（凹）函数。

  这个性质可以扩展至无限项的求和以及积分的情形。例如，如果对于每一个 \(y\in\mathcal{A}\)，函数 \(f(x,y)\) 是关于 \(x\) 的凸函数，且有 \(w(y)\geqslant 0\)，则函数

\[ g(x)=\int_{\mathcal{A}}w(y)f(x,y)\mathrm{d}y \]

关于 \(x\) 是凸函数（若此积分存在）。

对于 DIMM 拓扑的 DDR，通常可以使用 I2C 对搭载在 DIMM 上的 SPD EEPROM 进行读取后获得配置参数，然后对 DDR 控制器进行配置。

AMD Xilinx UG1085 的 Dynamic DDR Configuration 一节指出，当 DDR 控制器处于复位状态时，可以在运行时通过 FSBL 获取 DDR 参数并对 DDR 控制器进行初始化。

本文基于 Zynq RFSoC，对 PS 端的 SO-DIMM DDR 进行动态配置。

1. 定义

$ $  函数 \(f:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}\) 是凸（Convex）的，如果 \(\mathop{\bf dom}f\) 是凸集，且对于任意 \(x,y\in\mathop{\bf dom}f\) 和任意 \(0\leqslant\theta\leqslant1\)，有

\[\begin{equation}\label{DefinitionOfConvexFunction} f(\theta x+(1-\theta)y)\leqslant\theta f(x)+(1-\theta)f(y) \end{equation}\]

  从几何意义上看，上述不等式意味着点 \((x,f(x))\) 和 \((y,f(y))\) 之间的线段，即从 \(x\) 到 \(y\) 的弦（chord），在函数 \(f\) 的图像上方（如图 1所示）。称函数 \(f\) 是严格凸（strictly convex）的，如果式 \(\eqref{DefinitionOfConvexFunction}\) 中的不等式当 \(x\neq y\) 以及 \(0<\theta<1\) 时严格成立。称函数 \(f\) 是凹（concave）的，如果函数 \(-f\) 是凸的，称函数 \(f\) 是严格凹（strictly concave）的，如果 \(-f\) 严格凸。

1. 对偶锥

$ $  令 \(K\) 为一个锥。集合

\[\begin{equation} K^\ast = \{ y\mid x^\mathrm{T}y \geqslant 0,\ \forall x \in K \} \end{equation}\]

称为 K 的对偶锥（dual cone）。顾名思义，\(K^\ast\) 是一个锥，并且它总是凸的，即使 \(K\) 不是凸锥。

  从几何上看，\(y \in K^\ast\) 当且仅当 \(-y\) 是 \(K\) 在原点的一个支撑超平面的法线，如图 22 所示。

举例 子空间。子空间 \(V \subseteq \mathbf{R}^n\)（这是一个锥）的对偶锥是其正交补 \(V^\perp = \{y\mid y^\mathrm{T}v = 0,\ \forall v \in V\}\)。

1. 超平面分离定理

$ $  本节将阐述一个在之后非常重要的想法：用超平面或仿射函数将两个不相交的凸集分离开来。其基本结果就是超平面分离定理（separating hyperplane theorem）：假设 \(C\) 和 \(D\) 是两个不相交的凸集，即 \(C \cap D = \emptyset\)，那么存在 \(a \ne 0\) 和 \(b\) 使得对于所有 \(x\in C\) 有 \(a^\mathrm{T}x \leqslant b\)，对于所有 \(x\in D\) 有 \(a^\mathrm{T}x \geqslant b\)。换言之，仿射函数 \(a^\mathrm{T}x-b\) 在 \(C\) 中非正，而在 \(D\) 中非负。超平面 \(\{ x\mid a^\mathrm{T}x = b \}\) 称为集合 \(C\) 和 \(D\) 的分离超平面（separating hyperplane），或称超平面分离（separate）了集合 \(C\) 和 \(D\)，如图 19。

1. 正常锥与广义不等式

$ $  称锥 \(K \subseteq \mathbf{R}^n\) 即为正常锥（proper cone），如果它满足下列条件

• K 是凸的。
• K 是闭的。
• K 是实（solid）的，即具有非空内部。
• K 是尖（pointed）的，即不包含直线（或者等价地，\(x\in K, -x \in K \Longrightarrow x = 0\)）。

正常锥 \(K\) 可以用来定义广义不等式（generalized inequality），即 \(\mathbf{R}^n\) 上的偏序关系。这种偏序关系和 \(\mathbf{R}\) 上的标准序有很多相同的性质。用正常锥 \(K\) 可以定义 \(\mathbf{R}^n\) 上的偏序关系如下

\[ x \preceq_K y \Longleftrightarrow y - x \in K \]

\(y \preceq_K x\) 也可以写为 \(x \succeq_K y\)。类似地，定义相应的严格偏序关系为

\[ x \prec_K y \Longleftrightarrow y - x \in \mathop{\bf int}K \]

并且可以同样地定义 \(x \succ_K y\)。（为将广义不等式 \(\preceq_K\) 与严格的广义不等式区分开，有时也称 \(\preceq_K\) 为不严格的广义不等式）。

$ $  本文将描述一些保凸运算，利用保凸运算可以使用凸集构造出其他凸集。这些运算与Part 1.2 凸集—一些重要的凸集中描述的凸集的简单例子一起构成了凸集的演算，可以用来确定或构建集合的凸性。

1. 交集

  交集运算是保凸的：如果 \(S_1\) 和 \(S_2\) 是凸集，那么 \(S_1 \cap S_2\) 也是凸集。这个性质可以扩展到无穷个集合的交：如果对于任意 \(\alpha\in A\)，\(S_\alpha\) 都是凸的，那么 \(\displaystyle \bigcap_{\alpha \in A} S_\alpha\) 也是凸集。（子空间、仿射集合和凸锥对与任意交运算也是封闭的。）举一个简单的例子，多面体是半空间和超平面（它们都是凸集）的交集，因而是凸的。

举例 半正定锥 \(\mathbf{S}^n_+\) 可以表示为

\[ \bigcap_{z\ne 0} \left\{ X \in \mathbf{S}^n\mid z^\mathrm{T}Xz \geqslant 0 \right\} \]

对于任意 \(z\ne 0\)，\(z^\mathrm{T}Xz\) 是关于 \(X\) 的（不恒等于零的）线性函数，因此集合

\[ \left\{ X \in \mathbf{S}^n\mid z^\mathrm{T}Xz \geqslant 0 \right\} \]

实际上就是 \(\mathbf{S}^n\) 的半空间。由此，半正定锥是无穷个半空间的交集，因此是凸的。

\(\newcommand{\bfR}{\mathbf{R}} \newcommand{\bfS}{\mathbf{S}} \newcommand{\TT}{\mathrm{T}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \newcommand{\P}{\mathcal{P}} \def\conv{\mathop{\bf conv}}\)  本文将描述一些重要的凸集。首先介绍一些简单的例子。

• 空集 \(\emptyset\)、任意一个点（即单点集（singleton））\(\{x_0\}\) 、全空间 \(\bfR^n\) 都是 \(\bfR^n\) 的仿射（自然也是凸的）子集。

• 任意直线是仿射的。如果直线通过零点，则是子空间，因此，也是凸锥。

• 一条线段是凸的，但不是仿射的（除非退化为一个点）。

• 一条射线（ray），即具有形式 \(\left\{x_0 + \theta v\mid \theta \geqslant 0 \right\}, v \ne 0\) 的集合，是凸的，但不是仿射的。如果射线的基点 \(x_0\) 是 \(0\)，则它是凸锥。

• 任意子空间是仿射的、凸锥（自然是凸的）。

  MVDR （Minimum Variance Distortionless Response，最小方差无失真响应）算法是 Capon 于 1969 年提出的经典波束形成算法，其解决的是无失真约束下输出噪声加干扰功率最小化问题。

阵列模型

  首先对阵列接收信号进行建模。假设 \(N\) 元阵列天线在 \(t\) 时刻的阵列接收信号和阵列输出信号分别为 \(\mathbf{x}(t)\) 和 \(y(t)\)，则对于 \(K\) 个入射信号，有

\[\begin{equation} \begin{cases} \mathbf{x}(t) = \mathbf{A}(\boldsymbol{\theta})\mathbf{s}(t) + \mathbf{n}(t) \\ y(t) = \mathbf{w}^\mathrm{H}\mathbf{x}(t) \end{cases},\quad t = 1,\cdots,T \end{equation}\]

其中

• 阵列接收信号 \(\mathbf{x}(t) = [x_1(t),\cdots,x_N(t)]^\mathrm{T}\in\mathbb{C}^{N\times 1}\)

• 噪声 \(\mathbf{n}(t) = [n_1(t),\cdots,n_N(t)]^\mathrm{T}\in\mathbb{C}^{N\times 1}\)

• 入射信号 \(\mathbf{s}(t) = [s_1(t),\cdots,s_K(t)]^\mathrm{T}\in\mathbb{C}^{K\times 1}\)

• 阵列流形矩阵 \(\mathbf{A}(\boldsymbol{\theta}) = [\mathbf{a}(\theta_1),\cdots,\mathbf{a}(\theta_K)]\in \mathbb{C}^{N\times K}\)，导向矢量 \(\mathbf{a}(\theta_i)\in\mathbb{C}^{N\times 1}\)，\(K\) 个信号来向集合 \(\boldsymbol{\theta} = \{\theta_i\}_{i=1}^K\)

• 波束形成复加权 \(\mathbf{w} = [w_1,\cdots,w_N]^\mathrm{T}\)

Meta Data

• Title: Source Localization and Sensing: A Nonparametric Iterative Adaptive Approach Based on Weighted Least Squares

• Journal: IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems

• Date: 2010

• Author:

  • Tarik Yardibi: Department of Electrical and Computer Engineering, University of California

  • Jian Li: Department of Electrical and Computer Engineering, University of California

• Connected Papers: