Josh's Note — 最优阵列处理
Part 1.3 均匀加权线阵

发表于 2023-04-20 更新于 2024-06-08 分类于 Josh 的学习笔记，最优阵列处理，阵列和空域滤波器阅读次数：本文字数： 4k 阅读时长 ≈ 15 分钟

均匀加权线阵的频率-波数响应函数

现在把注意力集中到均匀加权线阵（Uniformly Weighted Linear Array）的情况，即

\[\begin{equation} w_n = \frac{1}{N}, \, n = 0,1,\cdots,N-1 \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{w} = \frac{1}{N} \boldsymbol{1} \end{equation}\]

其中 $\boldsymbol{1}$ 是 $N \times 1$ 维的单位矢量，则在 $\psi$ 空间的频率-波数响应函数可以写成（利用等比级数的求和公式）

\[\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi) &= \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} e^{j \left(n - \frac{N-1}{2}\right)\psi} \\ &= \frac{1}{N} e^{-j \left(\frac{N-1}{2}\right)\psi} \sum_{n=0}^{N-1} e^{j n \psi} \\ &= \frac{1}{N} e^{-j \left(\frac{N-1}{2}\right)\psi} \left[ \frac{1-e^{jN\psi}}{1-e^{j\psi}} \right] \end{aligned} \end{equation}\]

或（利用欧拉公式）

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left( N \frac{\psi}{2} \right)}{\sin\frac{\psi}{2}} \end{equation}\]

可以观察到：

当 $N$ 是奇数时，$\boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi)$ 是周期函数，周期为 $2\pi$；
当 $N$ 为偶数时，波瓣在 $\pm 2 \pi$、$\pm 6 \pi$ 处的值为负值，周期为 $4 \pi$；
对任意的 $N$，$\left|\boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi)\right|$ 的周期为 $2 \pi$。

当 $N = 11$ 时， $\boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi)$ 和 $\psi$ 的关系在图 1-3-1 中给出。图 1-3-2 给出了 $\left|\boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi)\right|$，单位为 dB，其中

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varUpsilon}_\mathrm{dB}(\psi) = 10 \log_{10} \left|\boldsymbol{\varUpsilon}(\psi)\right|^2 \end{equation}\]

$图 1-3-1 \boldsymbol{\varUpsilon}(\psi): \psi = \frac{2\pi}{\lambda} d \cos\theta, N=11$

$图 1-3-2 用 dB 表示 \left|\boldsymbol{\varUpsilon}(\psi)\right|$

MATLAB Code

fig2_1516.m

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Figure 2.15 & 2.16
% Beampattern of uniformly weighted linear array
% Xiaomin Lu
% Updated 1/5/99
% Last updated  by K. Bell 7/22/01, 10/4/01
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

clear all
close all

N = 11;        % 11 elements
% Note, Eq. (2.92) is in fact the standard Dirichlet function
% beam = diric(psi, N);
% if you don't have the signal processing toolbox, this does the same thing
psi = (-5:1/400:5)*pi;
beam = zeros(1,length(psi(:)));
y=sin(.5*psi);
i=find(abs(y)>1e-12);            % set where x is not divisible by 2 pi
j=1:length(psi(:));
j(i)=[];                         % complement set
beam(i)=sin((N/2)*psi(i))./(N*y(i));
beam(j)=sign(cos(psi(j)*((N+1)/2)));

plot(psi/pi, beam)
grid
xlabel('$\psi/\pi$','Interpreter','latex')
ylabel('Frequency wavenumber response function')
axis([-5 5 -0.4 1])
set(gcf,'Position',[0 0 1000 600])
figure
beam = 20*log10(abs(beam));
plot(psi/pi,beam);
xlabel('$\psi/\pi$','Interpreter','latex')
ylabel('Frequency wavenumber response function (dB)')
axis([-5 5 -25 0])
grid
set(gcf,'Position',[0 0 1000 600])

若不指定 $\boldsymbol{w}$ 的类型，则 $\boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi)$ 是复数，所以相位也应该画出来。但是，均匀加权线阵具有对称性，因此得到的频率-波数响应是实函数。

也可以用 $k_z$ 来表示频率-波数响应

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varUpsilon}(\omega:k_z) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left( N k_z \frac{d}{2} \right)}{\sin \left(k_z\frac{d}{2}\right)} \end{equation}\]

这里 $\boldsymbol{\varUpsilon}(\omega:k_z)$ 是周期函数，周期为 $2\pi/d$。

注意，响应函数仅依赖于波数分量 $k_z$，是 $k_z$ 的周期函数，间隔为 $2\pi/d$，这是线性阵列的一维特性导致的，所以该阵列仅能分析在 $k_z$ 方向上投影的波数分量。

均匀加权线阵的波束方向图

均匀加权线阵的波束方向图为

\[\begin{equation} B_\theta(\theta) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left(\frac{N}{2} \cdot \frac{2\pi}{\lambda} \cos \theta \cdot d \right)}{\sin \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{\lambda} \cos\theta \cdot d\right)}, \quad 0 \leqslant \theta \leqslant \pi \\ \end{equation}\]

\[\begin{equation} B_u(u) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left(\frac{ \pi Nd}{\lambda} u \right)}{\sin \left( \frac{N d}{\lambda} u\right)}, \quad -1 \leqslant u \leqslant 1 \label{BeamPatternOfUWLAInDirectionCosineDomain} \end{equation}\]

\[\begin{equation} B_\psi(\psi) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left(N\frac{\psi}{2}\right)}{\sin \left( \frac{\psi}{2} \right)}, \quad -\frac{2\pi d}{\lambda} \leqslant \psi \leqslant \frac{2\pi d}{\lambda} \label{BeamPatternOfUWLAInWaveNumberDomain} \end{equation}\]

其中定义域分别为 $0 \leqslant \theta \leqslant \pi$、$-1 \leqslant u \leqslant 1$ 和 $-\displaystyle\frac{2\pi d}{\lambda} \leqslant \psi \leqslant \frac{2\pi d}{\lambda}$，称为可视区域（visible region）。

函数 $B_u(u)$ 和 $B_\psi(\psi)$ 有时称为阵列因子（Array Factor）。这个量对非全向性阵元非常重要。

图 1-3-3 给出了 $B_\theta(\theta)$ 的极坐标形式，单位为 dB。如果在三维空间画出波束方向图，在图 1-3-3 中的图将对应沿着任意方位角 $\theta$ 切割得到的方向图。图 1-3-4 给出了波束方向图的幅度和不同变量之间的关系。

$图 1-3-3 在极坐标系中画出 B_\theta(\theta)$

MATLAB Code

fig2_17.m

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Figure 2.17
% Polar plot of B (Theta)
% Lillian Xu 1/5/99
% Updated by K. Bell 6/25/01
% Functions called: polardb
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


clear all
close all

N = 11;                                 % Elements in array
d = 0.5;                                % spacing wrt wavelength
beamwidth = 2/(N*d);                    % null-to-null (LL BW is half this)
D=d*(-(N-1)/2:1:(N-1)/2);               % element locations
ang = pi*(-1:0.001:1);
u   = cos(ang);
n2=size(u,2);
AS  = exp(-1i*2*pi*cos(90/180*pi)*D');  % BP points to 90 (broadside)
Au  = exp(-1i*2*pi*D'*u);
B   = real(AS'*Au)/N;
G   = 20*log10((abs(B)));

h=polardb(ang,G,-40);

$图 1-3-4 d = \lambda/2, N=10，线阵的 \left|\boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi)\right|$

MATLAB Code

fig2_18.m

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Figure 2.18
% beam patterns in different spaces
% Lillian Xiaolan Xu
% Last updated 09/07/2000
% updated by K. Bell 7/22/01, 10/4/01
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

clear all
close all

N = 10;
n = (-(N-1)/2:(N-1)/2).';
psi = pi*(-3:0.001:3);
w = 1/N*[ones(N,1)];
d = 1/2;
vv = exp(1i*2*d*n*psi);
B = (abs(w'*vv));

u1=-1;
u2=3;
y1=0;
y2=1;

subplot(4,1,1)
plot(-psi/d,B);
hold on
axis([u1*pi/d u2*pi/d y1 y2])
set(gca,'XTick',[-pi/d 0 pi/d 2*pi/d 3*pi/d])
set(gca,'YTick',[0 0.5 1])
set(gca,'XTickLabel',{'$-\pi/d$';'$0$';'$\pi/d$';'$2\pi/d$';'$3\pi/d$'}, ...
  'TickLabelInterpreter','latex')

grid on
point=0.8;
point_up=0.84;
point_down=0.76;
plot([-pi/d pi/d],[point point],'--')
plot([-1*pi/d -0.9*pi/d],[point point_up])
plot([-1*pi/d -0.9*pi/d],[point point_down])
plot([0.9*pi/d pi/d],[point_up point])
plot([0.9*pi/d pi/d],[point_down point])
text(-0.3*pi/d,1.2,'Visible region')

plot([pi/d 3*pi/d],[point point],'--')
plot([pi/d 1.1*pi/d],[point point_up])
plot([pi/d 1.1*pi/d],[point point_down])
plot([2.9*pi/d 3*pi/d],[point_up point])
plot([2.9*pi/d 3*pi/d],[point_down point])
text(1.7*pi/d,1.2,'Virtual region')
legend({'$k_z$-space'},'Interpreter','latex')

subplot(4,1,2)
plot(psi,B);
hold on
axis([u1*pi u2*pi y1 y2])
set(gca,'XTick',[-pi 0 pi 2*pi 3*pi])
set(gca,'YTick',[0 0.5 1])
set(gca,'XTickLabel',{'$-\pi$';'$0$';'$\pi$';'$2\pi$';'$3\pi$'}, ...
  'TickLabelInterpreter','latex')

grid on
legend({'$\psi$-space'},'Interpreter','latex')

subplot(4,1,3)
plot(psi/pi,B);
hold on
axis([u1 u2 y1 y2])
set(gca,'XTick',[-1 0 1 2 3])
set(gca,'YTick',[0 0.5 1])
grid on
legend({'$u$-space'},'Interpreter','latex')

theta = -180:0.1:360;
vv = exp(1i*2*d*n*pi*cos(theta/180*pi));
B = (abs(w'*vv));
subplot(4,1,4)
plot(theta,B);
hold on
axis([-180 180 y1 y2])
set(gca,'XTick',[-180 -90 0 90 180])
set(gca,'YTick',[0 0.5 1])
set(gca,'XTickLabel',{'$180^\circ$';'$90^\circ$';'$0^\circ$';'$-90^\circ$'; ...
  '$-180^\circ$'},'TickLabelInterpreter','latex')

grid on
legend({'$\theta$-space'},'Interpreter','latex')

set(gcf,'Position',[0 0 800 800])

虽然以上例子比较简单，但是可以用来展示线性阵列的一些重要特征。

波束方向图的参数

波束方向图的重要特征可以使用波束方向图的参数来描述。

3dB 带宽（半功率波束宽度，half-power beamwidth，HPBW）
到第一零点的距离（这个距离的两倍称为 $BW_{NN}$）
到第一旁瓣的距离
第一旁瓣的高度
其余零点的位置
旁瓣衰减的速率
栅瓣（Grating lobes）

半功率波束宽度

为了说明前两个参数，考虑在图 1-3-5 中给出的原点附近的波束方向图。

MATLAB Code

fig2_19.m

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Figure 2.19
% Main lobe of beam pattern
% Kristine Bell
% Last updated 6/4/01, 10/4/01
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% bp_sect - plots conventional bp with sector

clear all
% close all
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Uniform Linear Array
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
N = 10;                                 % Elements in array
d = 0.5;                                % spacing wrt wavelength
beamwidth = 2/(N*d);                    % null-to-null (LL BW is half this)
D=d*(-(N-1)/2:1:(N-1)/2);               % element locations
u   = -0.45:0.01:0.45;
AS  = exp(-1i*2*pi*D'*0);               % BP points to 0
Au  = exp(-1i*2*pi*D'*u);
B   = real(AS'*Au)/N;                   % BP

h=plot(u,B,'-');
set(h,'LineWidth',1.5)
hold on
% HPBW
I=find(B>=0.707);
plot([u(min(I)-1) u(max(I)+1)],[B(min(I)-1) B(max(I)+1)],'-')
plot(u(min(I)-1)*[1 1],B(min(I)-1)*[1 1]+0.03*[-1 1],'-')
plot(u(max(I)+1)*[1 1],B(max(I)+1)*[1 1]+0.03*[-1 1],'-')
plot([0.03 0.13],[0.72 0.845],'-')
text(0.155,0.84,'$\Delta u_1 = $HPBW','Interpreter','latex');

% BW-NN
plot([-0.2 0.2],[-0.3 -0.3],'-')
plot(-0.2*[1 1],-0.3*[1 1]+0.03*[-1 1],'-')
plot(0.2*[1 1],-0.3*[1 1]+0.03*[-1 1],'-')
text(-0.05,-0.35,'$\Delta u_2 = BW_{NN}$','Interpreter','latex');

% axes
plot([-1 1 ],[0 0],'-')
plot([0 0],[-0 1.1],'-')

% tick marks
plot(-0.4*[1 1],0.03*[-1 1])
plot(-0.2*[1 1],0.03*[-1 1])
plot(0.2*[1 1],0.03*[-1 1])
plot(0.4*[1 1],0.03*[-1 1])

yy = -0.1;
%tick labels
text(-0.45,yy,'$-2\frac{\lambda}{ND}$','Interpreter','latex');
text(-0.21,yy,'$-\frac{\lambda}{ND}$','Interpreter','latex');
text(-0.005,yy,'0','Interpreter','latex');
text(0.18,yy,'$\frac{\lambda}{ND}$','Interpreter','latex');
text(0.38,yy,'$2\frac{\lambda}{ND}$','Interpreter','latex');

text(0.01,1.1,'$B(u)$','Interpreter','latex')
hold off
axis([-0.42 0.42 -0.4 1.2])

set(gca,'Visible','off')

3dB 波束宽度是波束宽度的一个度量。定义为对应 $\left| B_u(u) \right|^2 = 0.5$ 或 $\left| B_u(u) \right| = 1/\sqrt{2}$ 的点。可以通过令波束方向图 $B_u(u)$（式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInDirectionCosineDomain}$）等于 $1/\sqrt{2}$，来求出 $u$ 空间的半功率点。对于 $N\geqslant 10$，通过解下面的方程可以得到一个很好的近似：

\[\begin{equation} \frac{\pi N d}{\lambda} u = 1.4 \end{equation}\]

即有

\[\begin{equation} \label{ApproximationOfHPBW} \Delta u_1 = 0.891 \frac{\lambda}{N d} \end{equation}\]

我们把这个间隔称为半功率波束宽度（half-power beamwidth，HPBW）。当 $N$ 增加时，式 $\eqref{ApproximationOfHPBW}$ 中的常系数会稍稍减小。对于 $N > 30$，$0.886 \lambda/Nd$ 是一个更好的近似表达式。

表 1-3-1 中列出了不同空间内 HPBW 的表达式。

表 1-3-1 各个空间的半功率波束宽度

空间	任意 $d$	$d=\lambda/2$
$u$	$0.891 \frac{\lambda}{Nd}$	$1.782 \frac{1}{N}$
$\bar{\theta}$ ¹	$2\sin^{-1} \left( 0.446 \frac{\lambda}{Nd} \right)$	$2\sin^{-1} \left( 0.891 \frac{1}{N} \right)$
较小的 $\bar{\theta}$	$\simeq 0.891 \frac{\lambda}{Nd}$ radians $\simeq 51.05 \frac{\lambda}{Nd}$ degrees	$\simeq 1.782 \frac{1}{N}$ radians $\simeq 102.1 \frac{1}{N}$ degrees
$\psi$	$0.891 \frac{2\pi}{N}$	$0.891 \frac{2\pi}{N}$
$k_z$	$0.891 \frac{2\pi}{dN}$	$1.782 \frac{2\pi}{\lambda N}$

第一零点波束宽度

方向图的零点出现在当波束方向图 $B_u(u)$（式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInDirectionCosineDomain}$）的分子为零而分母不为零时，即

\[\begin{equation} \sin \left( \frac{\pi N d}{\lambda} u \right) = 0 \end{equation}\]

成立的条件为

\[\begin{equation} \frac{\pi N d}{\lambda} u = m\pi, \quad m = 1,2,\cdots \end{equation}\]

则出现零点需要满足下面的两个条件：

\[\begin{equation} u = m \frac{\lambda}{Nd}, \quad m = 1,2,\cdots \end{equation}\]

且

\[\begin{equation} u \ne m \frac{\lambda}{d}, \quad m = 1,2,\cdots \end{equation}\]

则第一个零点的位置为 $\lambda/Nd$，即有

\[\begin{equation} \Delta u_2 = 2 \frac{\lambda}{Nd} \end{equation}\]

我们把 $\Delta u_2$ 称为零点-零点波束宽度（null-to-null beamwidth），用 $BW_{NN}$ 表示。 $BW_{NN}$ 的一半是到第一零点的距离 ($0.5 BW_{NN}$) 。这个量能够衡量阵列分辨两个不同平面波的能力，也称为瑞利限（Rayleigh resolution limit）。如果第二个波束方向图的峰值在第一个波束方向图的第一零点之外（间隔 $\geqslant \Delta u_2 / 2$），则认为这两个平面波是可以分辨的。在后面，我们将研究一个阵列的分辨能力的统计性度量。

注意到线阵在方位角方向（$\varphi$）没有分辨能力，因为该阵列在 $x$ 和 $y$ 方向上没有扩展。我们将在后面详细讨论分辨率的问题。

表 1-3-2中列出了在各个不同空间表示出的 $BW_{NN}$。

表 1-3-2 各个空间的第一零点波束宽度

空间	任意 $d$	$d=\lambda/2$
$u$	$2 \frac{\lambda}{Nd}$	$\frac{4}{N}$
$\bar{\theta}$	$2\sin^{-1} \left( \frac{\lambda}{Nd} \right)$	$2\sin^{-1} \left( \frac{2}{N} \right)$
较小的 $\bar{\theta}$	$\simeq 2 \frac{\lambda}{Nd}$ radians	$\simeq \frac{4}{N}$ radians
$\psi$	$\frac{4\pi}{N}$	$\frac{4\pi}{N}$
$k_z$	$\frac{4\pi}{dN}$	$\frac{8\pi}{\lambda N}$

旁瓣的位置及其衰减速率

旁瓣极大值的位置出现在当波束方向图 $B_\psi(\psi)$（式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInWaveNumberDomain}$）中的分子逼近极大值的时候：

\[\begin{equation} \sin \left( \frac{N \psi}{2} \right) = 1 \end{equation}\]

则此时有

\[\begin{equation} \frac{N \psi}{2} = \pm \left( 2m+1 \right)\frac{\pi}{2}, \quad m = 1,2,\cdots \end{equation}\]

也即在 $\psi$ 空间有

\[\begin{equation} \psi = \pm \frac{2m+1}{N}\pi \end{equation}\]

也即在 $u$ 空间有

\[\begin{equation} u = \pm \frac{2m+1}{N}\frac{\lambda}{2d} \end{equation}\]

则第一旁瓣的峰值出现在

\[\begin{equation} \psi = \pm \frac{2\pi}{N} \end{equation}\]

由于在极大值时，波束方向图 $B_\psi(\psi)$（式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInWaveNumberDomain}$）中的分子趋近为 1，因此极大值为

\[\begin{equation} B_\psi \left( \pm \frac{3\pi}{N} \right) \approx \frac{1}{N \sin \left( \frac{3\pi}{2N} \right)} \end{equation}\]

对于较大的 $N$，这个表达式可以进一步近似为

\[\begin{equation} B_\psi \left( \pm \frac{3\pi}{N} \right) \approx \frac{3}{2\pi} \end{equation}\]

计算得 -13.5dB。

这意味着一个信号如果在这个旁瓣的位置入射，且比位置在 $k_z = 0$ 的信号大 13.5dB，则这两个信号将产生相同的响应。主要的旁瓣出现在 $k_z = \pm(2m + 1) \pi/Nd$，旁瓣的水平衰减速率为 $1/(2m + 1)$。例如，第二旁瓣的高度为 -17.9dB。在实际中，这种旁瓣水平的分辨能力是不能被接受的，所以很少使用均匀加权。旁瓣控制在确定性阵列和自适应阵列设计中都是特别重要的问题。

栅瓣（Grating lobes）

$图 1-3-6 阵元间距对波束方向图的影响：(a) d=\lambda/4；(b) d=\lambda/2；(c) d=\lambda$

MATLAB Code

fig2_20.m

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Figure 2.20
% Effect of element spacing on beam pattern
% Xin Zhang
% Lillian Xu updated 09/2000
% updated by K. Bell 7/22/2001, 10/4/01
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

clear all
close all

N = 10;
n = (-(N-1)/2:(N-1)/2).';
psi = pi*(-3:0.001:3);
w = 1/N*[ones(N,1)];
d = [1/4 1/2 1];

figure
for k =1:length(d)
  vv = exp(1i*2*d(k)*n*psi);
  B(k,:) = 20*log10(abs(w'*vv));
  subplot(3,1,k)
  plot(psi/pi,B(k,:));
  hold on
  plot([-1 -1],[-25 0],'--');
  plot([1 1],[-25 0],'--');
  axis([-3 3 -25 5])
  set(gca,'YTick',[-25 -20 -15 -10 -5 0])
  grid on
  xlabel('$u$','Interpreter','latex')
  if k == 1
    plot([-1 1],[2.5 2.5])
    plot([-1 -0.9],[2.5 0.5])
    plot([-1 -0.9],[2.5 4.5])
    plot([0.9 1],[0.5 2.5])
    plot([0.9 1],[4.5 2.5])
    text(-0.4,7,'Visible region')
  end
  hold off
end

set(gcf,'Position',[0 0 800 600])

在图 1-3-6 中，针对多种 $d/\lambda$ 的值，画出了 $\left| \boldsymbol{\varUpsilon}_u(u) \right|$。图中说明了“栅瓣”这个重要的概念，即和主波束一样高的波瓣。栅瓣发生在当波束方向图 $B_\psi(\psi)$（式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInWaveNumberDomain}$）中的分子和分母均为零的时候。栅瓣出现的间隔为

\[\begin{equation} \frac{\psi}{2} = m \cdot \pi \end{equation}\]

也即

\[\begin{equation} \psi = m \cdot 2 \pi \end{equation}\]

也即

\[\begin{equation} u = m \cdot \frac{\lambda}{d} \end{equation}\]

如果阵列的间距大于 $\lambda$，则栅瓣的峰值出现在信号传播区域以内，即在 $\left| u \right| \leqslant 1$ 的区域以内。这里就会出现峰值响应模糊的问题，只有当我们对信号的入射方向有先验信息的时候，才可能解决这个问题。

下一节将讨论阵列调向的问题，阵列调向使得在 $u$ 空间的频率-波数响应函数 $\left| \boldsymbol{\varUpsilon}_u(u) \right|$ 发生平移，这种平移导致栅瓣进入了可视区域以内。我们发现，如果阵列需要的调向范围为 $0^\circ \leqslant \theta \leqslant 180^\circ$ 则需要

\[\begin{equation} \frac{d}{\lambda} \leqslant \frac{1}{2} \end{equation}\]

也即

\[\begin{equation} \lambda \leqslant \frac{\lambda}{2} \end{equation}\]

通常，我们考虑满足 $d \leqslant \lambda/2$ 的阵列，并假设需要在整个球内进行调向。我们把满足 $d = \lambda/2$ 的均匀线阵称为标准线阵（standard linear array）。

在时间序列分析中，当对时域波形欠采样时，会出现混迭问题。栅瓣的问题和时域混迭问题是等同的。

参考文献

Harry L. Van Trees. Optimum array processing: Part IV of detection, estimation, and modulation theory. New York, NY, USA: John Wiley & Sons, 2002.
Harry L. Van Trees, 汤俊. 最优阵列处理技术. 北京：清华大学出版社. 2008.

空间	任意 \(d\)	\(d=\lambda/2\)
\(u\)	\(0.891 \frac{\lambda}{Nd}\)	\(1.782 \frac{1}{N}\)
\(\bar{\theta}\) ¹	\(2\sin^{-1} \left( 0.446 \frac{\lambda}{Nd} \right)\)	\(2\sin^{-1} \left( 0.891 \frac{1}{N} \right)\)
较小的 \(\bar{\theta}\)	\(\simeq 0.891 \frac{\lambda}{Nd}\) radians \(\simeq 51.05 \frac{\lambda}{Nd}\) degrees	\(\simeq 1.782 \frac{1}{N}\) radians \(\simeq 102.1 \frac{1}{N}\) degrees
\(\psi\)	\(0.891 \frac{2\pi}{N}\)	\(0.891 \frac{2\pi}{N}\)
\(k_z\)	\(0.891 \frac{2\pi}{dN}\)	\(1.782 \frac{2\pi}{\lambda N}\)

空间	任意 \(d\)	\(d=\lambda/2\)
\(u\)	\(2 \frac{\lambda}{Nd}\)	\(\frac{4}{N}\)
\(\bar{\theta}\)	\(2\sin^{-1} \left( \frac{\lambda}{Nd} \right)\)	\(2\sin^{-1} \left( \frac{2}{N} \right)\)
较小的 \(\bar{\theta}\)	\(\simeq 2 \frac{\lambda}{Nd}\) radians	\(\simeq \frac{4}{N}\) radians
\(\psi\)	\(\frac{4\pi}{N}\)	\(\frac{4\pi}{N}\)
\(k_z\)	\(\frac{4\pi}{dN}\)	\(\frac{8\pi}{\lambda N}\)